Решение логических задач методом рассуждений
Идея метода: последовательные рассуждения и выводы из утверждений, содержащихся в условии задачи. Этим способом обычно решают несложные логические задачи.
Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Решение. Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.
Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.
Задача 2. В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:
Дима сказал: "Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов". Антон сказал: "Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин". Борис сказал: "Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин". Вадим сказал: "Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов". Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов".
Какую фамилию носит каждый из друзей?
- Обозначим высказывательную форму "юноша по имени А носит фамилию Б" как АБ, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.
- Зафиксируем высказывания каждого из друзей:
- ДМ и БХ;
- АМ и ВБ;
- ВТ и БМ;
- ВБ и ГЧ;
- ГЧ и АТ.
- Допустим сначала, что истинно ДМ. Но, если истинно ДМ, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит АМ и БМ ложно. Но если АМ и БМ ложны, то должны быть истинны ВБ и ВТ, но ВБ и ВТ одновременно истинными быть не могут.
- Значит остается другой случай: истинно БХ. Этот случай приводит к цепочке умозаключений: БХ истинно БМ ложно ВТ истинно АТ ложно ГЧ истинно ВБ ложно АМ истинно.
- Ответ: Борис — Хохлов, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Мишин, Дима — Белкин.
Задача 3. из поврежденной книги выпала часть сшитых вместе листов.
Номер первой выпавшей страницы - 143.
Номер последней записан теми же цифрами, но в ином порядке.
Сколько страниц выпало из книги ?
Первая трудность - осознать факт единственности ответа, который надо выбрать из целого ряда ответов.
Однако среди наших конкурсантов мало нашлось таких, кого эта трудность остановила.Все возможные варианты ответов большинство ребят добросовестно перечислили.
Это : шестиклассница из Анкары (Турция) Рафатова Севда, восьмиклассница Карпук Настя из Пущино (Московская область), семиклассница Шушпанова Галя из Братска, восьмиклассницы из Зеленогороска (Красноярской области) Сулимова Женя, Белова Ксюша, Донякина Лена, семиклассник Баранов Дмитрий из г. Сланцы (Ленинградской области) и многие другие.
Второй этап - отсеять ненужные варианты.
Страницу с номером, меньшим, чем номер первой выпавшей страницы, дружно отмели почти все конкурсанты.
И очень многие исключили также оба нечетных варианта номера последней выпавшей страницы (так как первая страница выпавшего блока - нечетная, последняя должна быть четной).
Некоторые ребята перешли к этому этапу, практически минуя первый этап : просто глядя на число 143, выбрали число, которое оканчивается на 4 и превышает номер первой выпавшей страницы.
Задача 4. Двое путников одновременно вышли из пункта А по направлению к пункту В.
Шаг второго был на 20 % короче, чем шаг первого,
но зато второй успевал за то же время сделать на 20% шагов больше, чем первый.
Сколько времени потребовалось второму путнику для достижения цели, если первый прибыл в пункт В спустя 5 часов после выхода из пункта А ?
Оказалась трудным орешком и вокруг нее разгорелась борьба мнений. Она только с виду казалась простой, но выяснилось, что очень легко в ней сделать ошибку. Эта задача разделила наших конкурсантов на два лагеря . Вот таких мнений придерживались эти лагери : оба путника придут одновременно к цели; второй путник немного отстанет от второго.
Выразителем первого мнения явилась шестиклассница Рафатова Севда из Анкары. Севда предложила провести численный эксперимент : пусть первый путник сделает 4 своих длинных шага. Тогда второй путник на этом же расстоянии сделает 5 шагов. ( Так как каждый шаг второго путника на 20% короче). Значит, по ее мнению, никто ни от кого не отстанет, оба путника достигнут цели одновременно. Севда права, что длина 4 шагов первого путника равна длине 5 шагов второго. Но время разное. Ведь, если первый путник сделает 4 шага, то второй за это время сделает только 1, 2 * 4 = 4,8 шага, а не 5. Ему надо еще затратить (5 - 4,8) : 5 * 100 = 4 % времени, чтобы преодолеть это расстояние.
Задача 5. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.
— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.
— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.
Питер, к которому обратился Ник, возмутился:
— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.
По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?
- Введем обозначения для логических высказываний:
- Ш — победит Шумахер; Х — победит Хилл; А — победит Алези.
- Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.
- Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание
- Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.
Победителем этапа гонок стал Шумахер.
Задача 6. Некий любитель приключений отправился в кругосветное путешествие на яхте, оснащённой бортовым компьютером. Его предупредили, что чаще всего выходят из строя три узла компьютера — a, b, c, и дали необходимые детали для замены. Выяснить, какой именно узел надо заменить, он может по сигнальным лампочкам на контрольной панели. Лампочек тоже ровно три: x, y и z.
- Инструкция по выявлению неисправных узлов такова:
- если неисправен хотя бы один из узлов компьютера, то горит по крайней мере одна из лампочек x, y, z;
- если неисправен узел a, но исправен узел с, то загорается лампочка y;
- если неисправен узел с, но исправен узел b, загорается лампочка y, но не загорается лампочка x;
- если неисправен узел b, но исправен узел c, то загораются лампочки x и y или не загорается лампочка x;
- если горит лампочка х и при этом либо неисправен узел а, либо все три узла a, b, c исправны, то горит и лампочка y.
- В пути компьютер сломался. На контрольной панели загорелась лампочка x. Тщательно изучив инструкцию, путешественник починил компьютер. Но с этого момента и до конца плавания его не оставляла тревога. Он понял, что инструкция несовершенна, и есть случаи, когда она ему не поможет.
- Какие узлы заменил путешественник? Какие изъяны он обнаружил в инструкции?
Введем обозначения для логических высказываний:
- a — неисправен узел а; x — горит лампочка х;
- b — неисправен узел b; y — горит лампочка y;
- с — неисправен узел с; z — горит лампочка z.
Правила 1–5 выражаются следующими формулами:
следует, что a=0, b=1, c=1.
Задача 7. Приведите рассуждения и представьте ответ на поставленный вопрос:
Узнику предложены на выбор три комнаты, в одной из которых находилась принцесса, а в двух других сидели тигры. На дверях комнат были вывешены таблицы со следующими надписями: I-В этой комнате сидит тигр
II-В этой комнате находится принцесса
III-Тигр сидит в комнате II
Ответ: Тигр сидит во второй комнате
